August
8th,
2021
乌托邦
线性空间
一个集合，它的元素是具有相同维数的向量，并且定义了加法和数乘结构化运算，这样的集合就被称为线性空间
内积空间
定义了内积运算的线性空间被称为内积空间
内积空间中，一组两两正交的向量构成这个空间的正交基，若正交基中基向量的$L^2$范数都是单位长度 1，这组正交基就是标准正交基
矩阵
线性空间点的变化对应着向量的线性变换，而描述对象变化抑或向量变化的语言，正是矩阵
线性空间中变化的实现有两种方式：一是点本身的变化，二是参考系的变化。 在第一种方式中，使某个点发生变化的方法是用代表变化的矩阵乘以代表对象的向量。而对坐标系施加变换的方法，就是让表示原始坐标系的矩阵与表示变换的矩阵相乘。
描述矩阵的一对重要参数是特征值和特征向量。对于给定的矩阵$A$，假设其特征值为$\lambda$，特征向量为$\vec x$，则它们的关系如下：
$A\vec x = \lambda\vec x$
矩阵代表了向量的变换，其效果通常是对原始向量同时施加方向变化和尺度变化。可对于有些特殊的向量，矩阵的作用只有尺度变化而没有方向变化，也就是只有伸缩的效果而没有旋转的效果。对于给定的矩阵来说，这类特殊的向量就是矩阵的特征向量，特征向量的尺度变化系数就是特征值。
求解给定矩阵的特征值和特征向量的过程叫做特征值分解，但能够进行特征值分解的矩阵必须是 n 维方阵。将特征值分解算法推广到所有矩阵之上，就是更加通用的奇异值分解。
总结
- 线性代数的本质在于将具体事物抽象为数学对象，并描述其静态和动态的特性
- 向量的实质是 n 维线性空间中静止的点
- 线性变换描述向量或作为参考系的坐标的变化，可以用矩阵表示
- 矩阵的特征值和特征向量描述了变化的速度和方向
乌托邦
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